1個の玉に、A、B、C、という3通りの箱の選び方があります。
玉は6個あるので、3の6乗通りになります。

例えば、6個すべてがAの箱に入るとします。
このとき、BとCの箱は空になります。
すべてがBの箱に入る場合、Cの箱に入る場合も同様です。
空の箱があっても良いので、この場合も入れ方の数として数えるからです。

補足。
もし、"空の箱があってはいけない"とすると、
3の6乗通りから、Aの箱が空になる場合、Bの箱が空になる場合、Cの箱が空になる場合、の3つの場合を除かなくてはいけなくなります。