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積分定数は任意の値を取るので問題ないです。
定数項に注目すると前者はc-(1/3)、後者はcとなり、一見違う値のように見えますが、c-(1/3)=c'となるような新たな積分定数を用いて表せば、2つの式の形は等しくなります。
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なるほど、そうすればいいのですか、ありがとうございました。