Doですね！
2回Doがきてて不自然だと思うかもしれませんが、Kate does her homeworkのdoesのあとにほんとはdoがあると思っていただければいいかなと思います。
do my homeworkのように言うのでこうなってますが、例えばplay soccerにしてみると、Kate plays soccer everyday.→Does Kate play soccer every day?
このplayのところがたまたまdoだっただけなんだと思います！
わかりにくくてすみません…あと間違ってたらごめんなさい、答えはあってると思うんですけどw