y=logxとy=1/xの交点においてその方程式が成り立つのであって常にその２つが等しいわけではありません。今回はその交点が1つしかないことを示す問題ですね。
中間値の定理とは、簡単に言うとある直線をまたいだ2点を繋げばその曲線(直線の場合も含む)は間にある直線と交点を持つという定理です。今回は解(y=0と交点)のについて議論するのでlogxー1/xがy=0を1点だけまたぐということを示すことになります。
方針としては、f(x)=logxー1/xなどとおいて、これが単調に変化することを示したのち、ある2点でy座標が異符号になることを言う、という感じでしょう。