予選決勝法といいます。
与式をxについての関数とみて平方完成すると、y=(x+k)^2-k^2+kとなります。
ここでは、-k^2+kがmなのですが、これをkについての関数とみて平方完成すると、y=(x+k)^2-(k-1/2)^2+1/4となります。
-(k-1/2)^2+1/4は上に凸であることより、k=1/2のとき最大値1/4となります。